Question

已知二次函數h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其導函數的圖象如圖，f(x)=6lnx+h(x).

①求f(x)在x=3處的切線斜率；

②若f(x)在區間(m,m+)上是單調函數，求實數m的取值范圍；

③若對任意k∈[-1,1]，函數y=kx(x∈(0,6])的圖象總在函數y＝f(x)圖象的上方，求c的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

①0; ②;③

【解析】

試題分析：①根據圖像求出一次導函數的解析式，那么函數的導函數就很容易得到了，所求的切線斜率即是其所對應的的導函數值；②根據函數的單調性與導數的關系求出函數的三個單調區間，使得所給的區間在任何一個單調區間內即可求出未知數的取值范圍；③由已知條件先導出和有關的不等式，將放在不等式的一邊，那么就有的最小值也要大于等于不等式另一邊式子的最大值，才能保證不等式恒成立，由函數的單調性和導數的關系求最值即可.

試題解析：①由已知得，其圖像如圖所示過點和,

則有，解得，所以,

所以，則即在處的切線斜率為0；            3分

②由已知得,

令，得，列表如下：

x	(0,1)	1	(1, 3)	3	(3,+∞)
	+	0	－	0	+
..f(x)		極大值		極小值

要使f(x)在上是單調函數，則區間必須完全含在任意一個單調區間內,    5分

所以有或或,

所以m的取值范圍為：；                   7分

③由題意知：對，恒成立,

即在恒成立,

即在恒成立,                         8分

令，則,

因為,

令，則,

時，，則在上是單調遞減的,

時，，則在上是單調遞增的,

∴當時，,

又，，則,

所以，恒成立，則在上是單調遞增的,

則,                      .12分

在恒成立,

∴，∴.                         14分

考點：函數的單調性和導數的關系，恒成立問題的解法.