Question

【題目】將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器自上方的入口處，小球自由下落，小氣在下落的過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是 ，
（1）分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（2）在容器 入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：記“小球落入A袋中”為事件M”，小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件N，

而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，

故P（M）= + = ，

從而P（N）=1﹣P（M）=1﹣ = ．

（2）

解：顯然，隨機變量ξ的所有可能的取值為0，1，2，3，4

且B（4， ），

故P（ξ=0）= ×（ ）0×（ ）4= ，

P（ξ=1）= ×（ ）1×（ ）3= ，

P（ξ=2）= ×（ ）2×（ ）2= ，

P（ξ=3）= ×（ ）3×（ ）1= ，

P（ξ=4）= ×（ ）4×（ ）0= ，

則ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

故ξ的數學期望為E（ξ）=4× =

【解析】（1）設出“小球落入A袋中”為事件M”，小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件N，而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，運用對立事件求解即可．（2）確定隨機變量ξ的所有可能的取值為0，1，2，3，4判斷出二項分布，得出B（4， ），運用概率公式求解即可．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．