Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-x2+4x．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）在給定的坐標系中畫出函數f（x）在R上的圖象（不用列表）；

（3）討論直線y=m（m∈R）與y=f（x）的圖象的交點個數．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=； （2）見解析；（3）見解析.

【解析】

本題第（1）題利用偶函數的性質公式f（x）＝f（﹣x）可得當x＜0時的函數表達式，則即可得到函數f（x）的解析式；第（2）題可將第（1）題中函數f（x）的解析式化為頂點式，即可畫出f（x）的圖象；第（3）題根據第（2）題中f（x）大致圖象，對m分類討論即可得到交點個數．

（1）由題意，

當x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x，

又∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，

∴當x＜0時，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，

∴函數f（x）的解析式為：

f（x）．

（2）由（1），知：

當x＜0時，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；當x≥0時，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4．

∴f（x），大致圖象如下：

（3）根據（2）中f（x）大致圖象，可知

①當m＜0時，直線y＝m與y＝f（x）的圖象有2個交點；

②當m＝0時，直線y＝m與y＝f（x）的圖象有3個交點；

③當0＜m＜4時，直線y＝m與y＝f（x）的圖象有4個交點；

④當m＝4時，直線y＝m與y＝f（x）的圖象有2個交點；

⑤當m＞4時，直線y＝m與y＝f（x）的圖象有沒有交點．