Question

3．已知函數f（x）=-x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-2x+2x²，討論函數g（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求當a=2時，函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出g（x）的導數，分類討論，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間．

解答 解：（Ⅰ）因為當a=2時，f（x）=-x²+2lnx，
所以f′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$，
因為f（1）=-1，f'（1）=0，
所以切線方程為y=-1；
（Ⅱ）g（x）=x²-2x+alnx的導數為g′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
a≤0，單調遞增區間是（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；單調遞減區間是（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$，單調遞增區間是（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；
單調遞減區間是（ $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
a≥$\frac{1}{2}$，g（x）的單調遞增區間是（0，+∞），無單調遞減區間；

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間，主要考查導數的幾何意義，同時考查函數的單調性的運用，屬于中檔題．