Question

2．頂點在原點的拋物線C關于x軸對稱，點P（1，2）在此拋物線上．
（Ⅰ）寫出該拋物線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）若直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，求△ABP的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），由拋物線經過P（1，2）可得p，即可寫出該拋物線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）若直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，求出|AB|，點P到直線y=x的距離，即可求△ABP的面積．

解答 解：（Ⅰ）因為拋物線的頂點在原點，且關于x軸對稱，
可設拋物線方程為y²=2px（p＞0），----------------------（1分）
由拋物線經過P（1，2）可得p=2．----------------------（2分）
所以拋物線方程為y²=4x，----------------------（3分）
準線方程為x=-1．----------------------（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$----------------------（5分）
得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$----------------------（7分）
可得$|{AB}|=4\sqrt{2}$）--------------------（8分）
點P到直線y=x的距離$d=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$----------------（9分）
所以${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$．----------------（10分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．