Question

已知函數，，其中且．

(Ⅰ)當，求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ)若時，函數有極值，求函數圖象的對稱中心的坐標；

（Ⅲ）設函數 （是自然對數的底數），是否存在a使在上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調增區間是，；(II) ;（III）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 為確定函數的單調區間，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的單調性”等步驟.

(Ⅱ) 為確定函數的極值，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的極值”等步驟.

本小題根據函數有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據的圖象可由的圖象向下平移16個單位長度得到，而的圖象關于（0，0）對稱，

得到函數的圖象的對稱中心坐標.

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，通過討論導函數為負數，得到的不等式，達到解題目的.

試題解析： (Ⅰ) 當，

，        1分

設，即，

所以，或，        2分

單調增區間是，；        4分

(Ⅱ) 當時，函數有極值，

所以，        5分

且，即，        6分

所以，

的圖象可由的圖象向下平移16個單位長度得到，而的圖象關于（0，0）對稱，        7分

所以函數的圖象的對稱中心坐標為；        8分

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，

，

        9分

當在上為減函數，則在上為減函數，在上為減函數，且，則．        10分

由（Ⅰ）知當時，的單調減區間是，

(1)當時，，在定義域上為增函數，

不合題意；        11分

(2)當時，由得：，在上為增函數，則在上也為增函數，也不合題意；        12分

(3)當時，由得：，在上為減函數，如果在上為減函數，則在上為減函數，則：

，所以．        13分

綜上所述，符合條件的a滿足．        14分

考點：應用導數研究函數的單調性、極值，不等式的解法.