Question

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．

(1)求證：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；

(2)若，AB＝BC＝2，P為AC中點，求三棱錐P－A₁BC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

　　證：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，

　　∴AA₁⊥BC，

　　∵AD⊥平面A₁BC，

　　∴AD⊥BC，

　　∵AA₁，AD為平面ABB₁A₁內兩相交直線，

　　∴BC⊥平面ABB₁A₁，

　　又∵平面A₁BC，

　　∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁　7分

　　(2)由等積變換得，

　　在直角三角形中，由射影定理()知，

　　∵，

　　∴三棱錐的高為　10分

　　又∵底面積　12分

　　∴＝　14分

　　法二：連接，取中點，連接，∵P為AC中點，

　　，，　9分

　　由(1)AD⊥平面A₁BC，∴⊥平面A₁BC，

　　∴為三棱錐P－A₁BC的高，　11分

　　由(1)BC⊥平面ABB₁A₁　，　12分

　　，　14分