Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A、B的一動點．

(1)三棱錐P－ABC的四個面中有幾個直角三角形？

(2)面PAC與面PBC所成的二面角的大小是否隨動點C的運動變化而變化？說明理由．

(3)若D為PB中點，如何過D作面PAC的垂線？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥AC，PA⊥AB．∴△PAC、△PAB都是直角三角形．又∵AB為直徑，C為圓周角，∴△ACB為直角三角形．又∵BC⊥AC、BC⊥PA，BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∴△PBC也為直角三角形．因此，三棱錐P－ABC的四個面中有4個直角三角形． 　　(2)由(1)知BC⊥平面PAC，∴平面PBC⊥平面PAC． 　　無論C點在圓周上任何地方(A、B除外)，平面PBC⊥平面PAC．因此，面PAC與面PBC所成的二面角的大小與C的運動無關． 　　(3)由(1)知面PAC⊥面PBC，又面PAC∩面PBC＝PC，且D∈面PBC， 　　∴過D點作DE⊥PC，E為垂足，則DE⊥面PAC．

提示：

首先根據線線垂直、線面垂直找到圖中存在的直角三角形．然后用二面角的定義進行判斷．