Question

已知

OP

=（2，1），

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），設M是直線OP上一點，O是坐標原點．
（1）求使

MA

•

MB

取最小值時的

OM

；
（2）對（1）中的點M，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

（1）設M（x，y），則

OM

=(x，y)，
由題意可知

OM

∥

OP

，又

OP

=(2，1)．
所以x-2y=0即x=2y，所以M（2y，y），
則

MA

•

MB

=(1-2y，7-y)•(5-2y，1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8，
當y=2時，

MA

•

MB

取得最小值，
此時M（4，2），即

OM

=(4，2)．
（2）∵cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

(-3，5)•(1，-1)

34 × 2

=-

4 17

17

．
∴∠AMB的余弦值為-

4 17

17