Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函數y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（2）設實數a＞0，求函數在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=e處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出F（x）的導數，根據F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，F′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，求出極值，再比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值即可．
解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞）f′（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函數y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）令F′（x）=0得
當，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當，F′（x）＞0，F（x）單調遞增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln
∴當時，F（a）-F（2a）≥0，F_max（x）=F（a）=lna
當時，F（a）-F（2a）＜0，F_max（x）=F（2a）=2ln2a．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力．