Question

以下命題正確的個數(shù)為（　　）
①若a²+b²=8，則ab的最大值為4；
②若a＞0，b＞0，且a+b=4，則

1

a

+

1

b

的最小值為1；
③若x∈R，則x+

4

x-2

的最小值為6；
④若x＞0，y＞0，且4x+y=1，則xy的最大值為

1

4

．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)ab≤

a2+b2

2

推斷①正確；
利用

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)展開后根據(jù)均值不等式求得

1

a

+

1

b

的最小值判斷出②正確；
根據(jù)x∈R，不能保證x-2為正數(shù)，判斷③不正確；
對于④變形為4x與y的乘積，利用 基本不等式求最大值，推斷④不正確．

解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤

a2+b2

2

=4成立（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2或a=b=-2時，取等號），故①正確．
由②知，a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1．
∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)=

1

4

+

b

4a

+

a

4b

+

1

4

≥

1

2

+2

b 4a ． a 4b

=

1

2

+

1

2

=1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號），故③正確．
由③x∈R，不能保證x-2為正數(shù)，此函數(shù)沒有最小值，判斷③不正確；
④：xy=

1

4

4x•y≤

1

4

(

4x+y

2

)2=

1

16

，當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=

1

2

時取等號．
則xy的最大值為：

1

16

．故④不正確．
故正確的有①②．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題的應(yīng)用．要特別留意基本不等式中等號成立的條件．