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在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,點P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小(結果用反三角函數值表示);
(Ⅱ)設O點在平面D1AP上的射影是H,求證:D1H⊥AP;
(Ⅲ)求點P到平面ABD1的距離.

解:建立如圖的空間坐標系,由已知D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),
D(0,0,4),B(4,4,0)
(1)如圖,連接PB,由正方體的性質知∠APB即為所求的線面角,∵CC1=4CP∴CP=1,由勾股定理知BP=
∴tan∠APB===

(2)證明:由已知OH⊥面APD1,∴OH⊥AP,
連接B1D1,由于O是上底面的中心,故O∈B1D1
由正體的性質知B1D1⊥面AC1
又AP?面AC1
∴B1D1⊥AP
又B1D1∩OH=0
∴AP⊥面D1OH,
∴D1H⊥AP
(3)如圖=(0,4,0),=(-4,0,4)=(-4,4,1)
令面ABD1的法向量為=(x,y,z)
故有,即
令x=1,則z=1,故=(1,0,1)
故點P到面面ABD1的距離d==
點P到面面ABD1的距離為
分析:本題宜建立空間坐標系,用空間向量來解決求線面角證線線垂直,求點到面 距離.
(Ⅰ)由題設條件,連接AC,即可得出AP與平面BCC1B1所成的角為∠PAC,求出線的方向向量與面的法向量,用公式求出線面角的正弦.
(Ⅱ)由圖形及題設條件可以證得AP⊥面D1OH,由線面垂直證得母線線垂直,求出兩線.
(Ⅲ)用向量法求點到面的距離,求線段對應的向量在面的法向量的投影的長度即可.
點評:本考點是立體幾何,對三個問題其中前兩個問題用幾何法證明較易,故采用了幾何法,而第三個問題點到面的垂線段不易做出,故采用了向量法求點到面的距離,在做題時應根據題目的條件靈活選用解題的方法.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱CC1的中點.
(I)求三棱錐D1-ACE的體積;
(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A-D1E-C的正弦值.

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在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E、F分別在棱AA1和AB上,且C1E⊥EF,則|AF|的最大值為(  )

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科目:高中數學 來源:2014屆四川省高二上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題

(文)如圖,在棱長為4的正方體ABCDABCD′中,EF分別是ADAD′的中點,長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動,另一個端點N在底面ABCD′?上運動,則線段MN的中點P的軌跡(曲面)與二面角AAD′-B′所圍成的幾何體的體積為(  )

A.      B.        C.         D.

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年黑龍江高三上期末考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點E是棱CC1的中點。

 

(I)求三棱錐D1—ACE的體積;

(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;

(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。

 

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