Question

若f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b，在x=

1

2

時，取得最小值1，
（1）求a和b的值．
（2）求x∈[

1

4

，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將函數進行化簡，利用在x=

1

2

時，取得最小值1，得到結論．
（2）利用換元法將函數轉換為一元二次函數，利用二次函數的性質求值域．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞），
因為f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b=2（log₂x）²-2alog₂x+b，
設t=log₂x，則函數等價為g(t)=2t2-2at+b=2(t-

a

2

)2+b-

a2

2

，
因為當x=

1

2

時，取得最小值1，此時t=log2

1

2

=-1，
所以

a

2

=-1，b-

a2

2

=1，解得a=-2，b=3．…（6分）
（2）因為a=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1）²+1，二次函數的對稱軸為t=-1，…（8分）
因為x∈[

1

4

，8]，所以-2≤t≤3…（10分）
所以1≤y≤33．
即函數的值域為[1，33]…（12分）

點評：本題主要考查了對數函數的運算和性質，利用換元法將函數轉化為一元二次函數，利用二次函數的圖象和性質解決問題是解決本題的關鍵．