Question

（文）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1）．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0時，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：第1問主要利用導數的幾何意義，在-1處的函數值是1，導數值是切線的斜率4，解方程組可求出a，b．第2問因為x＞0，所以可以先分離變量再構造函數，問題轉化為讓函數在x＞0時的最小值大于m；法一：因為x＞0，且出現x+

1

x

，所以可用基本不等式求函數最小值；法二：利用導數求函數最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b
由題意得：

f′(-1)=4 f(-1)=1

即

3-2a+b=4 -1+a-b+2=1

解得：a=b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴m≤

x3-x2+x

x2

，即m≤x+

1

x

-1，
法一：令g(x)=x+

1

x

-1（x＞0）∴g(x)≥2

x• 1 x

-1=2-1=1，
當且僅當x=

1

x

時取等號，即x=1時，g（x）_min=1，
∴m≤1
法二：令g(x)=x+

1

x

-1（x＞0）∴g'（x）=1-x^-2=0得x=1，
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數，
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數，
當x=1時，g（x）_min=1，∴m≤1

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，及給定區間上的恒成立問題，一般都可轉化為求一個函數在這個區間上的最值問題．最值常用導數、基本不等式等等．