Question

如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，垂足D在邊BC上，∠CAD=2∠BAD=2θ（0＜θ＜

π

4

），BD=1，設△ABD，△ACD的面積分別為S₁，S₂．
（Ⅰ）當

S2

S1

＞4時，求tanθ的取值范圍；
（Ⅱ）當S₁S₂＞

9

4

時，求tanθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據BD=1，∠CAD=2∠BAD=2θ，可求出AD與CD，再根據

S2

S1

=

CD

BD

＞4建立關于tanθ的不等式，解之即可求出tanθ的取值范圍；
（Ⅱ）根據S1S2＞

9

4

可建立關于tanθ的不等式，然后利用換元法可求出tanθ的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）BD=1，AD=

1

tanθ

，CD=ADtan2θ=

1

tanθ

•

2tanθ

1-tan2θ

=

2

1-tan2θ

S2

S1

=

CD

BD

=CD=

2

1-tan2θ

，由

S2

S1

＞4得tan2θ＞

1

2

，
又0＜θ＜

π

4

，故0＜tanθ＜1，從而所求tanθ范圍為(

2

2

，1)．
（Ⅱ）由S1S2＞

9

4

，得

1

4

AD2•CD=

1

4

•

1

tan2θ

•

2

1-tan2θ

＞

9

4

，
令tan²θ=x，得9x²-9x+2＞0，故x＞

2

3

或x＜

1

3

，
即tan2θ＞

2

3

或tan2θ＜

1

3

，又0＜θ＜

π

4

，
故

6

3

＜tanθ＜1，或0＜tanθ＜

3

3

．

點評：本題主要考查了已知三角函數模型的應用問題，以及三角不等式的解法，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．