Question

數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1

2

a

2 n

-an+c(c＞1為常數，n∈N*)，且a3-a2=

1

8

．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）比較

n

k=1

1

ak

與

40

39

an+1的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知a2=c-

1

2

，a3=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

，利用a3-a2=

1

8

，可求c的值；
（Ⅱ）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，從而

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39(2-an+1)

，可以證明1≤a_n＜a_n+1＜2，從而得證．

解答：解：（Ⅰ）由已知a2=c-

1

2

，a3=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

由a3-a2=

1

8

解得c=2或c=1(舍去)
（Ⅱ）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2有an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2)，從而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

因為a1=1，故

n

k=1

1

ak

=

n

k=1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

從而

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39(2-an+1)

①
下面證明1≤a_n＜a_n+1＜2②
由an+1-an=

1

2

(an-2)2≥0當且僅當an=2時an+1=an
又a₁=1．故a_n+1＞a_n≥1
再用數學歸納法證明a_n＜21°當n=1時，a₁=1＜2顯然結論正確.2°假設n=k時結論正確，即有a_k＜2．
注意到ak+1=

1

2

a

2 k

-ak+2=

1

2

(ak-1)2+

3

2

．
而函數y=

1

2

(x-1)2+

3

2

在x∈[1，+∞)單增．由1≤ak＜2
所以ak+1＜

1

2

(2-1)2+

3

2

=2．
這就是說，當n=k+1時結論也正確
由1°，2°可知a_n＜2對n∈N^*恒成立，從而②得證．
由已知易求a2=

3

2

，a3=

13

8

．
當n=1時，

1

a1

＜

40

39

a2．
當n=2時，

1

a1

+

1

a2

=

40

39

a3．
當n≥3時，由a3=

13

8

＜an+1＜2及①立得

n

k=1

1

ak

＞

40

39

an+1．

點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列與不等式，考查遞推式的運用，有一定的難度．