Question

9．已知圓心在y軸上的圓C經過點A（1，2）和點B（0，3）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，且被圓C截得的弦長為$\sqrt{2}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出線段AB的垂直平分線的方程，結合圓C的圓心C在直線x-y+2=0上，又在y軸上，求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，分類討論，設方程，利用直線被圓C截得的弦長為$\sqrt{2}$，可得圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，得線段AB的中點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
直線AB的斜率k_AB=$\frac{3-2}{0-1}$=-1，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y-$\frac{5}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即x-y+2=0．
由題意，圓C的圓心C在直線x-y+2=0上，又在y軸上，所以C（0，2），
半徑r=|BC|=1，所以圓C的方程為x²+（y-2）²=1．  …．（6分）
（Ⅱ）由題意，直線不過原點，設方程為x+y-a=0，
∵直線被圓C截得的弦長為$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1或3，
∴所求直線方程為x+y-1=0或x+y-3=0，
直線過原點，設直線l的方程為y=kx．∴$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=$±\sqrt{7}$x，∴所求直線方程為y=$±\sqrt{7}$x．
綜上所述所求直線為x+y-1=0或x+y-3=0或y=$±\sqrt{7}$x．

點評 本題考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．