Question

已知函數f（x）=log_a（2+ax）的圖象和函數g(x)=log

1

a

(a+2x)（a＞0，a≠1）的圖象關于直線y=b對稱（b為常數），則a+b=

 

．

Answer 1

分析：由已知圖象間的對稱性，轉化成f（x）+g（x）=2b對于定義域內每一個x都成立，再利用對數的性質log_a1=o解決．

解答：解：g(x)=log

1

a

(a+2x)=-log_a（a+2x） 由已知，若M（x，y）是f（x）圖象上任一點，則M關于直線y=b對稱的對稱點M′（x，2b-y）一定在g（x）的圖象上．
兩點坐標分別代入相應的解析式得，y=log_a（2+ax），2b-y=-log_a（a+2x），兩式相加，得2b=log_a（2+ax）-log_a（a+2x）=loga

2+ax

a+2x

所以

2+ax

a+2x

=1 解得a=2，從而b=0所以a+b=2
故答案為：2．

點評：本題考查了函數圖象的對稱性，對數運算和性質，含參數的恒成立問題．利用數形結合的思想把圖象對稱性轉化成數學關系式去解決．