Question

（06年上海卷理）（16分）

已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項＝2．設該數列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數＞1．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若＝2，數列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數列的通項公式；

（3）若（2）中的數列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．

Answer 1

解析：(1)  [證明]   當n=1時,a₂=2a,則=a；

                  2≤n≤2k－1時, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

                 a_n+1－a_n=(a－1) a_n,  ∴=a, ∴數列{a_n}是等比數列.

    (2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

             b_n=(n=1,2,…,2k).

   （3）設b_n≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時, b_n<；

      當n≥k+1時, b_n>.

      原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

          =(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

          ==.

         當≤4,得k²－8k+4≤0,    4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.