Question

已知拋物線x²=4y,過點M(2，2)作動弦AB，過A，B兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點P．

(1)證明：點P的軌跡為直線l：x-y-2=0；

(2)過點M作直線的垂線Z：x-y-2=0的垂線，垂足為N，證明：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

答案：(1)設A、B兩點的坐標分別為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則y₁=，y₂=，

于是k_PA=，k_PB=．

由點斜式得兩切線方程：

PA：2(y+y₁)=x₁x，PB：2(y+y₂)=x₂x，

解得點P坐標為().

由A、M、B三點共線知.

x₁x₂(x₂-x₁)+2(x₁+x₂)(x₁-x₂)+8(x₂-x₁)=0                                            ①

易知x₂-x₁≠0，

將①式兩端同除以4(x₂-x₁)得+2=0，

故點P的軌跡為直線l：x-y-2=0．

(2)過點M所作垂線l₁的方程為y-2=-(x-2)，解得l與l₁的交點N(3，1)．

MN的斜率為-1，若AN，BN的斜率均存在，則分別設為k₁，k₂，

要證∠ANM=∠BNM，只需證，

即證k₁k₂=1

k₁k₂=                                    ②

設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-2=

k(x-2)，代入x²=4y得

x²-4kx+8k-8=0，于是x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8

y₁+y₂=k(x₁-2)+2+k(x₂-2)+2=4k²-4k+4，

y₁y₂==4k²-8k+4

代人②式得k₁k₂==1(1≠)

當k=時，解得A、B兩點坐標分別為(-2，1)，(3，)，知直線AN與BN的斜率一個不存在，一個為零，亦有∠ANM=∠BNM．