Question

如圖，A村在B地正北3 km處，C村在B地正東4 km處，已知弧形公路PQ上任一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離之和為8 km，現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)交電房M分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠用電需用專(zhuān)用線路，不得與民用混線用電，因此向C村送電要架兩條線路，分別給村民和工廠送電，要使用電線最短，電房M應(yīng)建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意，得|MB|＋|MC|＝8＞4＝|BC|， 　　∴點(diǎn)M在以B、C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8 km的橢圓上． 　　由2a＝8，2c＝4，得a＝4，c＝2．∴b＝2． 　　∴橢圓方程為 　　其右準(zhǔn)線l：x＝8，離心率e＝．作MN⊥l于N，則，|MN|＝2|MC|． 　　作AE⊥l于E交橢圓于(介于A、E之間)． 　　∴|MA|＋2|MC|＝|MA|＋|MN|≥|A|＋|E|＝|AE|＝8－(－2)＝10． 　　∴(|MA|＋2|MC|)min＝10，此時(shí)M與的點(diǎn)重合． 　　由解得()， 　　即M()． 　　此時(shí)|AM|＝2＋2＝2(＋1)， 　　即要使用電線最短，電房M應(yīng)建在A的正東方向，距A村2(＋1)km處．