Question

如圖是一個三角形數陣．從第二行起每一個數都等于它肩上兩個數的和，第k行的第一個數為a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）寫出a_k與a_k-1的遞推關系，并求a_n；
（Ⅱ）求第k行所有數的和T_k；
（Ⅲ）求數陣中所有數的和S_n=T₁+T₂+…+T_n；并證明：當n≥2時，S_n≥2a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 通過前幾項歸納可得：a_k=2a_k-1+2^k-2（k≥2，且k∈N^*），從而數列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，以

1

4

為公差的等差數列，可求出a_n；
（Ⅱ） 由數陣的排布規律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，且公差依次為：1，2，2²，…，2^k-1，…第k行的首項為a_k，項數為n+1-k，公差為2^k-1
可求出T_n；   
（Ⅲ）先求出S_n和a_n，然后利用作差法判定S_n-2a_n的符號，從而得到結論．

解答：解：（Ⅰ） 由題意得a₁=1，a₂=3=2a₁+1，a₃=8=2a₂+2，a₄=20=2a₃+2²，a₅=48=2a₄+2³，
由以上歸納可得：a_k=2a_k-1+2^k-2（k≥2，且k∈N^*），（2分）
∴

ak

2k

=

ak-1

2k-1

+

1

4

，即

ak

2k

-

ak-1

2k-1

=

1

4

，
∴數列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，以

1

4

為公差的等差數列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

4

，∴a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．                （4分）
（Ⅱ） 由數陣的排布規律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，
且公差依次為：1，2，2²，…，2^k-1，…
第k行的首項為a_k，項數為n+1-k，公差為2^k-1
∴Tk=(n+1-k)ak+

1

2

(n+1-k)•(n-k)•2k-1
=(n+1-k)(k+1)•2k-2+

1

2

(n+1-k)•(n-k)•2k-1
=（n+1-k）•2^k-2[（k+1）+（n-k）]=（n+1-k）（n+1）•2^k-2（7分）
當k=n時，T_n=a_n=（n+1）•2^n-2符合上式；
當k=n-1時，由排布規律知，T_n-1=T_n=a_n=（n+1）•2^n-2也符合上式；
∴T_k=（n+1-k）（n+1）•2^k-2（1≤k≤n；k，n∈N^*）．                    （8分）
（Ⅲ）Sn=T1+T2+T3+…+Tn=

n

k=1

(n+1-k)(n+1)•2k-2=(n+1)2

n

k=1

2k-2-

1

2

(n+1)

n

k=1

k•2k-1
令Rn=

n

k=1

k•2k-1=1+2•21+3•22+…+n•2n-1（1）
2R_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-R_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ
∴R_n=（n-1）2ⁿ+1
∴Sn=

1

2

(n+1)2(2n-1)-

1

2

(n+1)[(n-1)•2n+1]=(n+1)•2n-

1

2

(n+1)(n+2)（n≥2，n∈N^*）（12分）
又a_n=（n+1）•2^n-2
∴當n≥2時，Sn-2an=(n+1)•2n-

1

2

(n+1)(n+2)-(n+1)•2n-1=

n+1

2

(2n-n-2)
又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ≥1+n+1=n+2（n≥2）
∴2ⁿ-n-2≥0（當且僅當n=2時取等號）．
∴當n≥2時，S_n≥2a_n．                                               （14分）

點評：本題主要考查了數列的通項公式，以及數列的遞推關系和數列的求和方法同時考查了利用作差法判定大小關系，是一道綜合題，有一定的難度．