Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說(shuō)明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大小．
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，
（Ⅰ）求出，計(jì)算，推出AP⊥DC．，然后證明CD垂直平面PAD，即可證明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ），計(jì)算．即可求得結(jié)果．
（Ⅲ）在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使，說(shuō)明∠ANB為所求二面角的平面角．求出，計(jì)算
即可取得結(jié)果．
解答：法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理得：CD⊥PD．
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，
則∠PBE是AC與PB所成的角．
連接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a²=3b²，PB=，
∴．
∴AC與PB所成的角為．

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=，
∴．
∴AB=2，
∴
故所求的二面角為．

法二：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M
（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212010989253709/SYS201310232120109892537017_DA/16.png">，
故，所以AP⊥DC．
又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：因，
故=，
所以
由此得AC與PB所成的角為．
（Ⅲ）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），
則存在使，，
∴x=1-λ，y=1，z=λ．
要使AN⊥MC，只需即，
解得．可知當(dāng)時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為，能使．
，
有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為所求二面角的平面角．
∵，
∴．
故所求的二面角為arccos．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，二面角的求法，異面直線所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．