Question

已知用戶甲的電腦被某黑客乙入侵．黑客乙為了竊取甲的某重要帳戶的用戶名和密碼，在甲的電腦中植入了如右程序框圖所示的電腦程序，在甲每次登陸其重要帳戶之前，電腦先執(zhí)行此程序，讓甲輸入其用戶名a，密碼d和一個隨機的驗證碼k（a、d、k均為正實數(shù)），因為甲的用戶名和密碼受到保護，所以乙每次只能看到驗證碼k和輸出結(jié)果S．某一天甲登陸了兩次其重要帳戶，乙看當(dāng)?shù)絢=2時S=，k=5時S=．
（Ⅰ）乙能否由此信息確定甲重要帳戶的用戶名和密碼？若能確定，請求出a和d的值；若不能確定，請說明道理．
（Ⅱ）現(xiàn)記輸入的a值為a₁，在程序運行的過程中，以后變量a取到的值分別記為a₂，a₃…，這樣得到一個數(shù)列{a_n}，記數(shù)列{a_n}的前n項和為Q_n，b_n=2ⁿQ_n，，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）能確定，記輸入的a值為a₁，在程序運行的過程中，以后變量a取到的值分別記為a₂，a₃…，
這樣得到一個數(shù)列{a_n}
當(dāng)K=2時，S=；
當(dāng)K=3時，S=，
即，
由，得，所以，即a=1，d=2（6分）
（Ⅱ）由（I）得Q_n=n²，n∈N^*，因此b_n=2ⁿ•n²，則
T_n=2•1+2²•2²+2³•3²+…+2ⁿ•n²，…①
2T_n=2²•1+2³•2²+2⁴•3²+…+2ⁿ⁺¹•n²，…②
①-②得-T_n=2•1+2²•（2²-1²）+2³•（3²-2²）+…+2ⁿ•[n²-（n-1）²]-2ⁿ⁺¹•n²，
不妨設(shè)M_n=2•1+2²•3+2³•5+…+2ⁿ•（2n-1），再利用錯位想減可得
M_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6，
所以-T_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6-2ⁿ⁺¹•n²，
T_n=2ⁿ⁺¹•（n-1）²+2ⁿ⁺²-6．（14分）
分析：（Ⅰ）乙能由此信息確定甲重要帳戶的用戶名和密碼，通過已知條件，列出，求出a和d的值．
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出b_n=2ⁿQ_n的表達(dá)式，利用兩次錯位相減法，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
點評：本題通過循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查分析問題解決問題的能力．