Question

設拋物線C₁：x ²＝4 y的焦點為F，曲線C₂與C₁關于原點對稱．

(Ⅰ) 求曲線C₂的方程；

(Ⅱ) 曲線C₂上是否存在一點P（異于原點），過點P作C₁的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線的位置關系、等差中項等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。

(Ⅰ)解；因為曲線與關于原點對稱，又的方程，

所以方程為．                 …………5分

(Ⅱ)解：設，，,．

的導數為，則切線的方程，

又，得，

因點在切線上,故．

同理, ．

所以直線經過兩點，

即直線方程為,即，

代入得，則,，

所以 ，

由拋物線定義得，．

所以，

由題設知，，即，

解得，從而．

綜上，存在點滿足題意，點的坐標為

 或 ．

                                              …………15分