Question

如下圖，已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和BC的中點，試問在棱DD₁上能否找到一點M，使BM⊥平面B₁EF？若能，試確定點M的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如下圖，取DD1的中點M，AA1的中點P，CC1的中點Q． 　　連結MP、MQ、BP、BQ，易證得MP⊥面ABB1A1， 　　∴MP⊥B1E． 　　又由平面幾何知BP⊥B1E，∴B1E⊥平面MBP． 　　∴B1E⊥MB． 　　同理可得BM⊥B1F． 　　又B1E∩B1F＝B1，∴BM⊥平面B1EF． 　　[規律總結]證線面垂直常用的方法有： 　　(1)利用定義，證明直線垂直于平面內的兩條相交直線； 　　(2)運用線面垂直的性質定理：兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． 　　上述結論“BP⊥B1E”的證明可以為：Rt△ABP≌Rt△BB1E，進一步可推得BP⊥B1E．