Question

設函數f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表達式；
（Ⅱ）討論g（t）在區間（-1，1）內的單調性并求極值．

Answer 1

分析：（ I）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，利用二次函數的性質可得g（t）的解析式．
（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函數的單調區間，由單調區間求得函數的極值．

解答：解：（ I）由于f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故當sinx=t時，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3．   …（6分）
（ II）我們有g′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值g(- 1 2 )	↘	極小值g( 1 2 )	↗

由此可見，g（t）在區間(-1，-

1

2

)和(

1

2

，1)單調增加，在區間(-

1

2

，

1

2

)單調減小，
極小值為g(

1

2

)=2，極大值為g(-

1

2

)=4．   …（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性，利用單調性求極值，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．