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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面四邊形ABCD為直角梯形,∠B=∠C=90°,AB=3CD,∠PBC=30°,點(diǎn)M是PB上的動點(diǎn),且數(shù)學(xué)公式(λ∈[0,1]).
(1)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,證明CM∥平面PAD;
(2)當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時,求λ的值.

解:(1)過M作MN∥AB于交PA于N,連接DN
∵△PAB中,PM:PB=1:3
∴MN:AB=1:3,得MN=AB
∵M(jìn)N∥AB,AB∥CD,∴MN∥CD
∵M(jìn)N=AB=CD,∴四邊形CDNM是平行四邊形,可得CM∥DN
∵CM?平面PAD,DN⊆平面PAD,
∴CM∥平面PAD;
(2)∵PC⊥底面ABCD,AB⊆平面ABCD,∴AB⊥PC
又∵AB⊥BC,PC、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PBC
∵CM⊆平面PBC,∴CM⊥AB,
因此,當(dāng)CM⊥PB時,可得CM⊥平面PAB,再結(jié)合CM⊆平面MCD,可得平面MCD⊥平面PAB.
∵Rt△PCB中,∠PBC=30°,∴PB=2PC
而Rt△PMC中,∠PCM=30°,所以PM=PC=PB,得=
∴當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時,λ的值為
分析:(1)利用平行線分線段成比例定理,結(jié)合平行線的傳遞性,可證出MN與CD平行且相等,從而得到四邊形CDNM是平行四邊形,可得CM∥DN,最后根據(jù)線面平行的判定定理,證出CM∥平面PAD;
(2)由線面垂直的判定與性質(zhì),可證出CM⊥平面PAB,從而得到當(dāng)CM⊥PB時,有平面MCD⊥平面PAB.再在Rt△PCB和Rt△PMC中,利用含有30°角的直角三角形的性質(zhì),算出PM=PB,得到當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時,λ的值為
點(diǎn)評:本題給出底面為直角梯形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,求證線面平面并且討論了面面垂直,著重考查了空間線面平面的判定和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習(xí)冊答案
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