Question

如圖所示的多面體中，，PA⊥面ABC，PA=1，M、D分別是所在線段的中點，PADN為矩形．
（I）求證：MN∥面PAC；
（II）求平面MNC與平面PAC所成銳二面角大小θ．

Answer 1

【答案】分析：（I）以A為原點，分別以AB、AC、AP為x、y、z軸建立空間右手直角坐標系，利用向量法能夠證明MN∥面PAC．
（II）求出面MNC的一個法向量和面PAC的一個法向，由此能求出平面MNC與平面PAC所成銳二面角大小θ．
解答：解：（I）以A為原點，分別以AB、AC、AP為x、y、z軸，
建立空間右手直角坐標系，
∵，PA⊥面ABC，PA=1，
M、D分別是所在線段的中點，PADN為矩形，
∴，
，．…（2分）
∵，
∴，
∵為面PAC的一個法向量，
∴MN∥面PAC．…（6分）
（II）∵，C（0，，0），∴，
設面MNC的一個法向量為，
由，
取，則．
取面PAC的一個法向量，
則，
∴．…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，解題時要合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．