Question

已知函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在x∈（-1，1]時，f（x）=2^x-2^-x，設a=f（

2

），b=f（2），c=f（3），則（　　）

A．c＜a＜b

B．b＜c＜a

C．c＜b＜a

D．a＜b＜c

Answer 1

分析：易證函數的周期為2，進而可得a=f（

2

）=f（

2

-2），b=f（2）=f（0），c=f（3）=f（1），再由函數在x∈（-1，1]的單調性，可得大小關系．

解答：解：由題意可得f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
可得函數f（x）為周期函數，其函數的周期為T=2，
故a=f（

2

）=f（

2

-2），b=f（2）=f（0），c=f（3）=f（1），
因為在x∈（-1，1]時，f（x）=2^x-2^-x為增函數，
又-1＜

2

-2＜0＜1，故a＜b＜c，
故選D

點評：本題考查函數的周期性和函數的單調性，屬中檔題．