Question

已知函數g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R
（1）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（2）設h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀），使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）令y=f（x）-g（x）=mx-

m-2

x

-lnx-（

2

x

+lnx）=mx-

m

x

-2lnx的定義域為（0，+∞）；求導y′=

mx2-2x+m

x2

；再由f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數知mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，或mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；從而討論求解．
（2）當x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）；當x∈（1，e]時，化f（x）-g（x）＞h（x）為m＞

2e+2xlnx

x2-1

；從而化為恒成立問題．

解答： 解：（1）令y=f（x）-g（x）=mx-

m-2

x

-lnx-（

2

x

+lnx）=mx-

m

x

-2lnx的定義域為（0，+∞）；
y′=

mx2-2x+m

x2

；
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，
則mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，或mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；
易知當m≤0時，mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；
當m＞0時，應該有mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

1+x2

在[1，+∞）上恒成立；
而（

2x

1+x2

）_max=1；
故m≥1；
綜上所述，
m的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）當x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）；
當x∈（1，e]時，由f（x）-g（x）＞h（x）得，
m＞

2e+2xlnx

x2-1

；
令G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，
則G′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

＜0；
故G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

在（1，e]上遞減，
G（x）_min=G（e）=

4e

e2-1

；
綜上，要在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，
只需使m＞

4e

e2-1

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題與存在性命題的應用，屬于中檔題．