Question

若函數式f（n）表示n²+1（n∈N^*）的各位上的數字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，所以F（14）=17，記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]…，f_k+1（n）=f[f_k（n）]，k∈N^*，則f₂₀₀₉（17）=

5

．

Answer 1

分析：先利用前幾項找到數列的特點或規律，f_n（17）是從第一項起以3為周期的循環數列，再求f₂₀₀₉（17）即可．

解答：解：由17²+1=290⇒f（17）=2+9+0=11，
11²+1=122⇒f（11）=1+2+2=5，
5²+1=26⇒f（5）=8
8²+1=65⇒f（8）=11
11²+1=122⇒f（11）=5
…⇒f_n（17）是從第一項起以3為周期的循環數列，
又2009÷3的余數為2，故f₂₀₀₉（17）=f₂（17）=f（11）=5．
故答案為：5．

點評：本題考查了新定義型的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題，屬于中檔題．