Question

在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=-2．建立適當的坐標系，求以M，N為焦點且過點P的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設以M，N為焦點且過點P的橢圓方程和焦點坐標，根據tanM=，tanα=tg（π-∠MNP）=2，得直線PM和PN的直線方程，將此二方程聯立解得x和y，可知點P的坐標，根據，|MN|=2c，MN上的高為點P的縱坐標，根據三角形面積公式表示出出△MNP的面積求得c，則點P的坐標可得．由兩點間的距離公式求得|PM|和|PN|，進而根據橢圓的定義求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
解答：解：如圖，以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，
設以M，N為焦點且過點P的橢圓方程為，
焦點為M（-c，0），N（c，0）．
由tgM=，tanα=tg（π-∠MNP）=2，
得直線PM和直線PN的方程分別為y=（x+c）和y=2（x-c）．
將此二方程聯立，解得x=c，y=c，即P點坐標為（c，c）．
在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高為點P的縱坐標，故
由題設條件S_△MNP=1，∴c=，即P點坐標為．
由兩點間的距離公式，．
得．
又b²=a²-c²=，
故所求橢圓方程為．
點評：本題主要考查坐標系、橢圓的概念和性質、直線方程以及綜合應用能力．