Question

已知數列{a_n}、{b_n}滿足：．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）設S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實數a為何值時4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，求出，和，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根據，進行變形得到，構造等差數列{}，并求出其通項，進而可求出數列{b_n}的通項公式；
（3）根據（2）結果，可以求出數列{a_n}的通項公式，然后利用裂項相消法求S_n，構造函數f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，轉化為求函數f（n）的最值問題，可求實數a的取值范圍．
解答：解：（1）∵
∴，，
，，
（2）∵
∴
∴數列{}是以-4為首項，-1為公差的等差數列
∴
∴；
（3），
∴
∴
由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當a=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當a＞1時，由二次函數的性質知不可能成立
當a＜1時，對稱軸
f（n）在（1，+∞）為單調遞減函數．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0
∴∴a＜1時4aS_n＜b恒成立
綜上知：a≤1時，4aS_n＜b恒成立．
點評：此題是個難題．考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，及數列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（3）的設置，數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．