Question

19、設a，b均為正數，且a≠b，求證：a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

分析：本題可用分析法與綜合法來解答：法一，分析法：證明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分條件成立，法二，綜合法：由條件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通過變形，應用不等式的性質可證出結論．

解答：解：證明：法一：（分析法）
要證a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因為a＞0，
只需證a²-ab+b²＞ab成立，
而依題設a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，
由此命題得證．
法二：（綜合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均為正數，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．

點評：此題還可用比較法證明，體會不同方法間的區別聯系．