Question

已知函數f（x）=x-ln（x+1）-1，則f（x）

1. A.
   沒有零點
2. B.
   有唯一零點
3. C.
   有兩個零點x₁、x₂，且-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2
4. D.
   有兩個零點x₁、x₂，且1＜x₁+x₂＜3

Answer 1

D
分析：函數零點的判定定理即零點的存在條件，對一個函數零點的存在性常用導數求出函數的極值及各個區間的上的單調性借助圖形來確定函數零點的位置及零點的個數，故解決本題要先對函數求導，討論其極值到到的位置、正負以及各個區間上的單調性，由圖象變化規律結合零點存在定理確定正確選項．
解答：由題設函數的定義域為（-1，+∞）；
又f'（x）=1-，令1-=0得，x=0
當x＜0時，f'（x）=1-＜0，
當x＞0時，f'（x）=1-＞0，
故函數f（x）=x-ln（x+1）-1在（-1，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數
又f（0）=-1＜0，即一個零點在（-1，0）上；
f（1）=-ln2＜0，f（2）=1-ln2＜0，f（3）=2-ln4＞0，另一個零點在（2，3）上；
則1＜x₁+x₂＜3
故選D．
點評：本題考點是函數零點的判定定理，考查根據函數的單調性與極值確定函數零點的個數，其原理是零點存在的條件，本題是函數零點考查題型中較常見的題型，做題后要好好總結本題做題的規律，且能在同類題中進行推廣．