Question

(理)已知直三棱柱中，，是棱的中點．如圖所示．
 
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）.

試題分析：（1）本題中由于是直棱柱，且底面中，即兩兩垂直，因此我們可以建立空間直角坐標系，用空間向量來解決立體幾何問題，要證明線面垂直，只要在平面內任取兩個不共線的向量如，只要計算出，，就能證明線線垂直，從而得證線面垂直；（2）而要求二面角的大小，可通過求兩個面和的法向量的夾角來求，法向量的夾角與二面角互補或相等來求，下面就是想辦法求法向量了，如平面，可設是它的法向量，利用，得到，只要令，就可得到一個法向量.
試題解析：(1)按如圖所示建立空間直角坐標系．由題知，可得點、、
、、、．
于是，．
可算得．
因此，．
又，
所以，．

(2)設是平面的法向量．
∴
又，
∴取，可得即平面的一個法向量是．
由(1)知，是平面的一個法向量，
記與的夾角為，則，．
結合三棱柱可知，二面角是銳角，
∴所求二面角的大小是．