Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間與單調遞減區(qū)間？
（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，+2]上的最大值與最小值？

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈(-

1

3

，1)
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為：(-∞，-

1

3

)， (1，+∞)，減區(qū)間為：(-

1

3

，1)
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函數(shù)，在[-

1

3

，1）上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值為f（-2）=-10