Question

若m，n是關于x的方程x²-2ax+a+6=0的兩個實根，則（m-1）²+（n-1）²的最小值是______．

Answer 1

依方程有兩個實根得到△=4a²-4（a+6）≥0，
即a²-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根與系數的關系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）²+（n-1）²=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-6a-10，
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
∴根據二次函數的性質知a=3時，y的最小值為8．（12分）
故答案為：8