Question

四面體C-ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°． E、F，Q分別是BC、AC、BD的中點．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）在AC上確定一點M，使BF∥平面MED？并說明理由；
（3）若CQ為底面ABD的一條斜線段，請問CA，CB有可能相等嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）考慮到CB=CD，AB=AD，Q是BD的中點，故連接CQ、AQ，從而可得AQ⊥BD，CQ⊥BD，根據線面垂直的判定定理可證．
（2）由于F，E分別為AC，BC的中點，故考慮取FC的中點，從而有ME∥BQ，根據線與平面平行的判定定理可得
（3）假設CA=CB，則CA=CB=CD，則C在平面ABD的射影O為三角形ABD的外心，結合已知可得O與Q重合，即CQ⊥平面ABD，與已知矛盾，故不可能有CA=CB

解答：解：（1）連接CQ，AQ∵CB=CD，AB=AD且Q是BD的中點
∴BD⊥AQBD⊥CQ∵CQ∩AQ=Q
∴BD⊥平面AQC，∴BD⊥AC
（II）當M為CF的中點，即CM=

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CA時，可得BF∥EM
∵BF?平面MED，ME⊆平面MED
∴BF∥平面MED
（3）假設CA=CB，則CA=CB=CD，過C作CO⊥平面ABD，則O為△ABD的外心，即OA=OB=OD，
又△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，
∴O為BD的中點從而O與Q重合
∴CQ⊥平面ABD 與CQ為底面ABD的一條斜線段矛盾
故CA，CB不可能相等

點評：本題主要考查了線與平面垂直與線與線垂直的相互轉化，線與平面的平行的判定及“線線平行”與“線面平行”的轉化，考查了空間想象能力及推理論證的能力．