Question

已知矩陣，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是．
（1）求矩陣A；
（2）若向量，計算A⁵β的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：A=λ（為特征向量，λ為特征值），利用矩陣的乘法法則化簡求出a與b的值，代入矩陣A即可；
（2）根據矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為2和3，得到A=2=3①，然后根據特征向量線性表示出向量β，利用矩陣的乘法法則求出β=3α₁+α₂②，將①和②代入A⁵β中求出值即可．
解答：解：（1）由題知：=2，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以；
（2）矩陣A的特征多項式為=λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
當，當λ₂=3時，得． 則A=2=3
由β=mα₁+nα₂=m+n=得：解得，則β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=．
點評：考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．