Question

設函數

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）證明：當時，；

（Ⅲ）證明：當，且…，，時，

(1)…

(2) ….

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的單調區間和證明不等是的綜合運用。

（1）先求解函數的定義域和函數的導數，然后結合導數的符號判定單調區間。

（2）運用第一問中的結論。得到不等式的放縮得到證明。

（3）結合第一問和第二問的基礎上，進一步放縮法得到結論。

解：（Ⅰ）由，有，………………… 2分

當時，時，單調遞增；

當時，時，單調遞減；

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為. …… 4分

（Ⅱ）設，

則.………………6分

由（Ⅰ）知，在單調遞減，

∴，即是減函數，

而，所以，得，

得，故.………………… 8分

（Ⅲ）（1）由…，及柯西不等式可知，

…

……

，                           

所以，……………………11分

（2）由（1）得：.  

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

則.

故………………14分