Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，如果存在函數(shù)g（x）=ax（a為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．已知g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  e

  ]
• B．[0，

  1

  e

  ]
• C．（0，e]
• D．[0，e]

Answer 1

分析：函數(shù)g（x）=ax（a為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)），構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-ax，求最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：令h（x）=e^x-ax，則h′（x）=e^x-a，
由題意，a=0時(shí)，結(jié)論成立；
a≠0時(shí)，令h′（x）=e^x-a=0，則x=lna
∴函數(shù)h（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+∞）上為增函數(shù)
∴x=lna時(shí)，函數(shù)取得最小值a-alna
∵g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)，
∴a-alna≥0
∴l(xiāng)na≤1
∴0＜a≤e
綜上，0≤a≤e，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查函數(shù)恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對(duì)于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理．