Question

在直角坐標系xOy中，點M到F₁、F₂的距離之和是4，點M的軌跡C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線l：y=kx+b與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（1）求軌跡C的方程；
（2）當時，求k與b的關系，并證明直線l過定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據焦點坐標可求得c，根據M到兩焦點距離和求得a，則b可求得，進而求得橢圓的方程．
（2）將直線方程代入曲線C的方程消去y，根據判別式大于0求得k和b的不等式關系，設出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據直線方程表示出y₁•y₂，推斷出曲線C與x軸的負半軸交于點A（-2，0），進而可表示出和根據求得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．整理求得k和b的關系式，最后進行驗證求得k和b的關系．
解答：解：（1）∵點M到，的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為的橢圓，
其方程為．
（2）將y=kx+b，代入曲線C的方程，
整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
因為直線l與曲線C交于不同的兩點P和Q，
所以△=64k²b²-4（1+4k²）（4b²-4）=16（4k²-b²+1）＞0．①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．②
且y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²．③
顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A（-2，0），
所以，，
由，得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．
將②、③代入上式，整理得12k²-16kb+5b²=0，
所以（2k-b）（6k-5b）=0，即b=2k或．經檢驗，都符合條件①．
當b=2k時，直線l的方程為y=kx+2k．
顯然，此時直線l經過定點（-2，0）點．即直線l經過點A，與題意不符．
當時，直線l的方程為．顯然，此時直線l經過定點點，且不過點A．
綜上，k與b的關系是：，且直線l經過定點點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．