Question

（2013•嘉定區一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積S；
（2）求異面直線A₁B與AC所成角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）利用S=2S_△ABC+S_側，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積S；
（2）連接BC₁，確定∠BA₁C₁就是異面直線A₁B與AC所成的角（或其補角），在△A₁BC₁中，利用余弦定理可求結論．

解答：解：（1）在△ABC中，因為AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=2

3

．…（1分）
S_△ABC=

1

2

AB×BC=2

3

．…（1分）
所以S=2S_△ABC+S_側=4

3

+（2+2

3

+4）×4=24+12

3

．…（3分）
（2）連接BC₁，因為AC∥A₁C₁，所以∠BA₁C₁就是異面直線A₁B與AC所成的角（或其補角）．…（1分）
在△A₁BC₁中，A₁B=2

5

，BC₁=2

7

，A₁C₁=4，…（1分）
由余弦定理可得cos∠BA₁C₁=

5

10

，…（3分）
所以∠BA₁C₁=arccos

5

10

．…（1分）
即異面直線A₁B與AC所成角的大小為arccos

5

10

．…（1分）

點評：本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關鍵是正確作出線線角，屬于中檔題．