Question

已知關于x的方程x²+2ax+b=0，其中，a∈[-

2

，

2

]，b∈[0，2]．
（1）求方程有實根的概率；
（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有實根的概率．

Answer 1

分析：根據題意，由一元二次方程的性質，可得x²+2ax+b=0有實根的充要條件為b≤a²，
（1）由題意分析可得，這是幾何概型，將Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}表示為平面區域，進而可得其中滿足b≤a²的區域的面積，由幾何概型公式，計算可得答案．
（2）由題意分析可得，這是古典概型，由a、b分別從{-1，0，1}，{0，1，2}中任取的數字，易得一共可以得到9個不同方程；可得滿足b≤a²的全部情況數目，結合古典概型公式，計算可得答案．

解答：解：方程x²+2ax+b=0有實根?△≥0?4a²-4b≥0?b≤a²，
（1）點（a，b）所構成的區域為Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}，
面積S_Ω=2

2

×2=4

2

；
設“方程有實根”為事件A，所對應的區域為A={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2，b≤a2}，
其面積SA=

∫

2 - 2

a2da=

1

3

a3

|

2 - 2

=

2 2

3

-

-2 2

3

=

4 2

3

，
這是一個幾何概型，所以P(A)=

SA

SΩ

=

1

3

（2）因為a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9個，分別是：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（-1，2），（0，2），（1，2），
其中，滿足△≥0即b≤a²的有5個：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（1，1）．
設“方程有實根”為事件B，這是一個古典概型，所以P(B)=

5

9

答：（1）所求概率為

1

3

；（2）所求概率為

5

9

．

點評：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，注意兩者的不同．