Question

對于函數(shù)f（x），若x₀∈R使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．如果函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b∈N*)，有且僅有兩個不動點-1，1，且f（-2）＜f（-1），則函數(shù)f（x）的解析式為

f（x）=

x2+1

2x

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）=（b∈N^*）有且僅有兩個不動點-1、1，可得-1，1是方程f（x）=x的根，根據(jù)方程組可得c值及a，b間的關系式，由f（-2）＜f（-1）可確定b的范圍，從而可確定b，a的值，進而可得函數(shù)解析式．

解答：解：（1）設

x2+a

bx-c

=x⇒（1-b）x2+cx+a=0（b≠1），
∵f（x）有兩個不動點-1，1，
∴

-1+1= -c 1-b -1×1= a 1-b

，解得c=0，a=b-1，
又f（-2）＜f（-1），所以

4+a

-2b-c

＜

1+a

-b-c

，
把c=0，a=b-1代入該式并化簡得，b＜3，
因為b∈N^*，b≠1，所以b=2，則a=1．
∴f（x）=

x2+1

2x

．
故答案為：f(x)=

x2+1

2x

．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查新定義，考查函數(shù)解析式，考查學生運用所學知識分析解決問題的能力，有一定難度．