Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點到焦點的距離最小值為1，若F為左焦點，A為左頂點，過F的直線交橢圓于M，N直線AM，AN交直線x=t（t＜-2）于B，C兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）若以BC為直徑的圓過F，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求得F坐標，設出直線MN的方程，聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系結合以BC為直徑的圓過F列式求得t值．

解答 解：（1）由題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a-c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如圖，由（1）知，F（-1，0），
設MN所在直線方程為x=ty-1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=ty-1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6t}{3{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$．
x₁+x₂=t（y₁+y₂）-2=$\frac{6{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}-2=\frac{-8}{3{t}^{2}+4}$，
${x}_{1}{x}_{2}=（t{y}_{1}-1）（t{y}_{2}-1）={t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1$
=$-\frac{9{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}-\frac{6{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}+1=\frac{-12{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$+$\frac{4}{3{t}^{2}+4}$．
AM：$\frac{y}{{y}_{1}}=\frac{x+2}{{x}_{1}+2}$，取x=t，得B（t，$\frac{t+2}{{x}_{1}+2}{y}_{1}$），
AN：$\frac{y}{{y}_{2}}=\frac{x+2}{{x}_{2}+2}$，取x=t，得C（t，$\frac{t+2}{{x}_{2}+2}{y}_{2}$）．
由題意可知，$\overrightarrow{BF}=（-1-t，-\frac{t+2}{{x}_{1}+2}{y}_{1}）$，$\overrightarrow{CF}=（-1-t，-\frac{t+2}{{x}_{2}+2}{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}{y}_{1}{y}_{2}$=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{y}_{1}{y}_{2}$
=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{\frac{-12{t}^{2}+4}{3{t}^{2}+4}-\frac{16}{3{t}^{2}+4}+4}•（\frac{-9}{3{t}^{2}+4}）$=$\frac{-5{t}^{2}-28t-32}{4}=0$，
解得：t=-$\frac{8}{5}$（舍）或t=-4．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．