Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于點E，CB與CB₁交于點F．
（I）求證：A₁C⊥平BDC₁；
（II）求二面角B-EF-C的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A₁A⊥底面ABCD，則AC是A₁C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，則A₁C⊥BD，同理A₁C⊥DC₁，又BD∩DC₁=D，根據直線與平面垂直的判定定理可知A₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）取EF的中點H，連接BH、CH，BH⊥EF，同理CH⊥EF，根據二面角平面角的定義可知∠BHC是二面角B-EF-C的平面角，又E、F分別是AC、B₁C的中點，則EF

∥

.

1

2

AB1，從而△BEF與△CEF是兩個全等的正三角形，可求出BH=CH=

3

2

BF=

6

4

，于是在△BCH中，由余弦定理，可求得cos∠BHC，最后利用反三角表示即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，則AC是A₁C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A₁C⊥BD．
同理A₁C⊥DC₁，又BD∩DC₁=D，
∴A₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）取EF的中點H，連接BH、CH，
∵BE=BF=

2

2

，∴BH⊥EF．
同理CH⊥EF．
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角．
又E、F分別是AC、B₁C的中點，∴EF

∥

.

1

2

AB1．
∴△BEF與△CEF是兩個全等的正三角形．
故BH=CH=

3

2

BF=

6

4

．
于是在△BCH中，由余弦定理，得cos∠BHC=

BH2+CH2-BC2

2BH•CH

=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2× 6 4 × 6 4

=-

1

3

∴∠BHC=arccos(-

1

3

)=π-arccos

1

3

．
故二面角B-EF-C的大小為π-arccos

1

3

．

點評：本小題主要考查線面關系，以及二面角的度量和正方體等基礎知識，考查空間想象能力和推理運算能力，屬于中檔題．