Question

如圖，在半徑為、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點（N，M）在OB上，設矩形PNMQ的面積為y，
（1）按下列要求寫出函數的關系式：
 ①設PN=x，將y表示成x的函數關系式；
 ②設∠POB=θ，將y表示成θ的函數關系式；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（ 1） ①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；
     ②利用三角函數的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；
（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數的形式，根據θ的范圍確定矩形面積的最大值．
解答：解：（1）①因為ON=，OM=，所以MN=，（2分）
所以y=x（）   x∈（0，）．（4分）
②因為PN=sinθ，ON=，OM=，
所以MN=ON-OM=（6分）
所以y=sinθ，
即y=3sinθcosθ-sin²θ，θ∈（0，）（8分）
（2）選擇y=3sinθcosθ-sin²θ=sin（2θ+）-，（12分）
∵θ∈（0，）∴（13分）
所以．（14分）
點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，三角函數的最值的確定，三角函數公式的靈活運應，考查計算能力，課本題目的延伸．如果選擇①需要應用導數求解，麻煩，不是命題者的本意．